株洲市网约车驾驶员证的取得时间可能会受到多种因素的影响，包括报名人数、审核流程、考试安排等。因此，无法给出确切的时间范围。

一般来说，网约车报名后需要经历以下步骤：

1.提交申请：申请人需要填写相关表格，提交必要的材料，如身份证、驾驶证、行驶证等。

2.审核材料：相关部门会对提交的申请材料进行审核，以确保申请人符合网约车驾驶员的资格要求。

3.培训和考试：申请人可能需要参加网约车驾驶员培训，并通过相关的考试，以了解网约车的运营规范、安全知识等。

4.颁发证书：如果申请人顺利通过审核和考试，相关部门会颁发网约车驾驶员证。

整个过程的时间可能会因个人情况和行政效率而有所不同。一些地区可能会在几周内完成整个流程，而在其他情况下，可能需要更长的时间。

为了了解具体的时间和流程，建议你直接联系株洲市当地的交通运输管理部门或相关机构，他们能够提供最准确和最新的信息。此外，你还可以咨询已经取得网约车驾驶员证的人，了解他们的经验和大致时间范围。

需要注意的是，取得网约车驾驶员证不仅需要满足资格要求，还需要遵守相关的法律法规和运营规范。在等待证的过程中，你可以提前了解和熟悉这些要求，为日后的网约车驾驶做好准备。